Twee concurrerende tv-zenders pakken elk uit met een quiz, waarin heel wat geld te verdienen is. In het programma "de crack" valt er de eerste uitzending al 500 euro te verdienen. De tweede uitzending verdien je nog eens 750 euro, na de derde overwinning komt er 1000 euro bij, na de vierde nog eens 1250 euro. De andere zender geeft de overwinnaar van hun quiz "het genie" na de eerste aflevering een magere 50 euro mee naar huis. Komen die deelnemers terug om nog een tweede keer te winnen, dan verdienen ze in de volgende uitzending 100 euro, de derde aflevering staat er 200 euro en de vierde keer zelfs 400 euro op het spel. Voor beide spellen geldt dat je maximaal 10 afleveringen kan meespelen.

Om te beginnen een eenvoudig vraagje: voor welke quiz zou jij je inschrijven (aan welke quiz zou jij het liefst meedoen)?

Dus jij zou je inschrijven voor "de crack". Nochtans valt er met "het genie" meer geld te verdienen... als je lang genoeg in het spel blijft tenminste! Laten we eens wat rekenen ...

Dus jij zou je inschrijven voor "het genie". Geen slechte keuze want met deze quiz kan je het meest verdienen... maar dan moet je wel erg goed zijn en lang genoeg in het spel blijven! Laten we eens wat rekenen ...

Bereken eens even wat je in beide programma's per uitzending kunt winnen: vul het rijtje verder aan.

uitzending 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

de crack

het genie

Merk vooral op dat beide reeksen een regelmaat vertonen: we noemen dit rijen. Maar er zijn ook overduidelijk verschillen te merken. Zo stijgt de waarde van de getallen sneller bij "het genie".

Als we op zoek gaan naar de regelmaat, dan stellen we bij "de crack" vast dat elk getal in de rij net 250 meer is dan het voorgaande. Je vindt dus de volgende term uit de rij door een bepaald getal bij het voorgaande te tellen. Zo'n rij noemen we een rekenkundige rij en dat getal noemen we het verschil (v). Bij "het genie" vinden we de nieuwe waardes door telkens het het vorige getal te vermenigvuldigen met een bepaalde getal. Zo'n rij noemen we een meetkundige rij en dat getal het quotiënt (q).

Om een rij te bepalen moet je proberen de regelmaat in de reeks geordende getallen vast te leggen in een voorschrift. Er zijn twee soorten voorschriften: het recursief en het expliciet voorschrift.

Bij een recursief voorschrift krijg je een formule om de zoveelste term te berekenen op basis van één of meer voorgaande termen. Om zo de rij te bepalen moet je uiteraard wel de startwaarde kennen. Voor onze quizprogramma's zou je de volgende recursieve voorschriften kunnen gebruiken.

de crack u₁ = 500 en u_n = u_n-1 + 250

het genie u₁ = 50 en u_n = 2 . u_n-1

Bij een expliciet voorschrift krijg je een formule om de zoveelste term te berekenen op basis zijn plaats in de rij. Voor onze quizprogramma's zou je de volgende expliciete voorschriften kunnen gebruiken.

de crack u_n = 500 + 250 . (n - 1) voorbeeld: u₇ = 500 + 250 . (7 - 1) = 2000

het genie u_n = 50 . 2^n-1 voorbeeld: u₇ = 50 . 2^7-1 = 3200

Stel dat je 15 keer zou mogen deelnemen aan zo'n quiz, hoeveel zou er dan te verdienen zijn in de 15de aflevering van "de crack"? En bij "het genie"?
In de 15de uitzending van "de crack" kan je euro verdienen en bij "het genie" staat er in de 15de aflevering al euro op het spel.

Opmerking: het is niet altijd eenvoudig de voorschriften van rijen te vinden.

Als je de grafiek tekent van een rekenkundige rij bekom je een rij van punten die op een rechte gelegen zijn. Men spreekt bij rekenkundige rijen dan ook van lineaire groei. Het expliciet voorschrift van een RR heeft immers dezelfde vorm van een vergelijking van een rechte. Het expliciet voorschrift van een RR kan altijd geschreven worden in de vorm u_n = u₁ + (n-1).v

Als je de grafiek tekent van een meetkundige rij bekom je een rij van punten die op een kromme gelegen zijn. Deze kromme stijgt steeds sneller. Bij meetkundige rijen spreekt men van exponentiële groei (in het expliciet voorschrift vind je "n" terug als exponent). Het expliciet voorschrift van een MR kan altijd geschreven worden in de vorm u_n = u₁ . q^n-1

Blijft nog de vraag met welk bedrag onze quizkandidaten uiteindelijk naar huis gaan. Hiertoe moet je de som van de eerste zoveel termen uit de rij bepalen. We gaan hier niet de volledige afleiding, maar wel de uiteindelijke formules geven.

De som (s_n) van een RR bereken je als volgt:

De som (s_n) van een MR bereken je als volgt:
(indien q = 1 dan is s_n = u₁ . n)

Ga nu eens op twee manieren na wat onze kandidaten bij "de crack" en "het genie" in het totaal verdiend hebben na 7 gewonnen afleveringen. Tel het eerst gewoon manueel op aan de hand van de tabel bovenaan en reken het daarna ook eens uit met behulp van deze formules.
Na 7 overwinningen heb je bij "de crack" al een totaal van euro verdiend en bij "het genie" zit je dan al aan euro in het totaal.

Bereken nu ook eens hoeveel je (in theorie) na 15 afleveringen aan prijzengeld bij elkaar kan schrapen (gebruik de formules).
Na 15 overwinningen heb je bij "de crack" al een totaal van euro verdiend en bij "het genie" zit je dan al aan euro in het totaal.